【Editorial Renmin】Matemáticas de Secundaria Obligatoria, Segundo Volumen (Edición A): Del eje numérico al plano complejo: definición algebraica y correspondencia geométrica de los números complejos

Imagina que solo puedes moverte hacia adelante y atrás sobre una cuerda fina. Ese es el mundo del eje real. Si quisieras saltar hacia arriba, la cuerda no podría sostener tu peso. Introducirnúmeros complejoses como añadir una nueva dimensión a tu mundo. Cada número complejo de la forma $z = a + bi$ ya no es simplemente un punto en la recta numérica, sino una coordenada $(a, b)$ en el plano o un vector que parte desde el origen. Esta correspondencia perfecta entre "número" y "forma" es uno de los avances más importantes en la historia de las matemáticas.

Definición algebraica y correspondencia geométrica de los números complejos

En el segundo volumen obligatorio, aprendimos sobre el sistema de números complejos. Los números complejos están formados porparte realyparte imaginariacombinados, con su forma algebraica estándar $z = a + bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$).

Para comprender visualmente los números complejos, creamosel plano complejo:

el eje realcorresponde al eje $x$, representando la parte real del número complejo.
el eje imaginariocorresponde al eje $y$, representando la parte imaginaria del número complejo.
punto y número complejocorresponde al número complejo $z = a + bi$ y al punto $Z(a, b)$ mediante una correspondencia biunívoca.
vector y número complejocorresponde al número complejo $z = a + bi$ y al vector plano $\vec{OZ}$ mediante una correspondencia biunívoca.

El módulo de un número complejo $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ tiene como significado geométrico la distancia desde el punto $Z$ hasta el origen en el plano complejo. Mientras que $|z_1 - z_2|$ representa la distancia entre dos puntos.

$$z = a + bi \iff Z(a, b) \iff \vec{OZ}$$

PREGUNTA 1

En el plano complejo, $O$ es el origen y el vector $\vec{OA}$ corresponde al número complejo $2+i$. Si el punto $A$ tiene un punto simétrico respecto al eje real llamado $B$, encuentra el número complejo correspondiente al vector $\vec{OB}$.

$2-i$

$-2+i$

$-2-i$

$1+2i$

PREGUNTA 2

Siguiendo con la pregunta anterior, si el punto $B$ tiene un punto simétrico respecto al eje imaginario llamado $C$, encuentra el número complejo correspondiente al punto $C$.

$2+i$

$-2-i$

$-2+i$

$2-i$

PREGUNTA 3

Si el número complejo $z$ tiene parte real positiva y parte imaginaria igual a $3$, ¿en qué tipo de figura se encuentra el punto correspondiente a $z$ en el plano complejo?

una semirrecta en el primer cuadrante

un segmento sobre el eje imaginario

todo el primer cuadrante

una línea recta por encima del eje real

PREGUNTA 4

Calcula el resultado de la operación con números complejos: $(-3-4i) + (2+i) - (1-5i)$.

$-2+2i$

$-2-8i$

$0$

$-4+2i$

PREGUNTA 5

Dado que el número complejo $z$ tiene parte imaginaria $\sqrt{3}$ y el módulo del vector correspondiente en el plano complejo es $2$, encuentra este número complejo $z$.

$1 + \sqrt{3}i$ o $-1 + \sqrt{3}i$

$1 + \sqrt{3}i$

$\pm 1 - \sqrt{3}i$

$\sqrt{7} + \sqrt{3}i$

PREGUNTA 6

La condición necesaria y suficiente para que el producto de los números complejos $(a+bi)$ y $(c+di)$ sea un número real es:

$ad+bc=0$

$ac+bd=0$

$ac=bd$

$ad=bc$

PREGUNTA 7

Resuelve la ecuación $4x^2+9=0$ en el conjunto de números complejos $\mathbb{C}$.

$x = \pm \frac{3}{2}i$

$x = \pm \frac{9}{4}i$

$x = \frac{3}{2}i$

Sin solución

PREGUNTA 8

Si el número complejo $z$ tiene módulo $5$ y parte imaginaria $-4$, entonces el número complejo $z$ es:

$3-4i$ o $-3-4i$

$3-4i$

$\pm 3 + 4i$

$\pm 9 - 4i$

PREGUNTA 9

Encuentra la distancia entre los dos puntos correspondientes a los números complejos $z_1=8+5i$ y $z_2=4+2i$ en el plano complejo.

$5$

$\sqrt{13}$

$25$

$7$